31 Maksimum Dan Minimum Youtube . Turunan Fungsi Rumus Aljabar Trigonometri Contoh Soal . Imath Cara Menentukan Titik Balik Maksimum Dan Minimum Grafik Fungsi Trigonometri Menggunakan Turunan Fungsi . Nilai Maksimum Fungsi Trigonometri Youtube . Koordinat Titik Balik Minimum Fungsi F X 2x 3x 36x 40 Adalah Brainly Co Id
Fungsikuadrat yang diketahui titik puncaknya adalah : $y=a\left(x-x_{e}\right)^{2}+y_{e}$. $y=a\left(x-1\right)^{2}-2$. Melalui titik (2,-1) sehingga : $-1=a\left(2-1\right)^{2}-2\rightarrow a=1$. $y=\left(x-1\right)^{2}-2$. Salah. Fungsi kuadrat yang diketahui titik puncaknya adalah :
Kondisi suatu grafik fungsi $y = fx$ mempunyai tiga keadaan, yaitu keadaan naik kurva fungsi naik, keadaan turun kurva fungsi turun, dan keadaan diam kurva fungsi stasioner. Kali ini, kita akan membahas mengenai kondisi suatu fungsi ketika dalam keadaan diam stasioner beserta perluasannya. Nilai Stasioner dan Titik Stasioner Misalkan $c$ adalah anggota dari domain asal fungsi $f$. Jika $f'c = 0$, maka $fc$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x = c$. Pasangan nilai $c$ dan $fc$ dalam koordinat berbentuk $c, fc$ dinamakan titik stasioner. Titik stasioner juga disebut titik kritis, titik balik, titik ekstrem, atau titik optimum. Jenis-jenis Ekstrem Suatu Fungsi Penentuan jenis-jenis ekstrem suatu fungsi dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu uji turunan pertama dan uji turunan kedua. a. Uji turunan pertama Jika $f'c = 0$, maka $fc$ adalah nilai stasioner $f$ pada $x=c$. Nilai stasioner mungkin saja merupakan nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau titik belok horizontal pada grafik fungsi $f$. Jenis nilai-nilai stasioner ini dapat ditentukan dengan memperhatikan tanda kepositivan $f'x$ di sekitar $x=c$. $fx$ mempunyai nilai balik maksimum $fc$ jika $f'x$ berganti tanda dari positif menjadi negatif saat melalui nol. $fx$ mempunyai nilai balik minimum $fc$ jika $f'x$ berganti tanda dari negatif menjadi positif saat melalui nol. $fx$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ jika $f'x$ tidak berganti tanda saat melalui nol. Tafsiran geometri dari uji turunan pertama untuk menentukan jenis ekstrem fungsi dapat dilihat di bawah. 1 $fx$ mempunyai nilai balik maksimum $fc$ dan titik ekstrem $c, fc.$ 2 $fx$ mempunyai nilai balik minimum $fc$ dan titik ekstrem $c, fc.$ 3 $fx$ mempunyai titik belok horizontal pada $c$ dengan titik belok $c, fc.$ Dalam hal ini, $fc$ bukan nilai ekstrem fungsi. b. Uji turunan kedua Uji turunan kedua sangat diperlukan untuk menentukan titik belok kurva suatu fungsi. Uji turunan kedua pada penentuan jenis ekstrem fungsi juga didasari pada pengamatan tanda kepositivan $f'c$ di sekitar $x=c$ yang diperoleh dari $f'x = 0$. Uji turunan kedua diperlukan untuk fungsi polinomial berderajat tiga atau lebih. Misalkan fungsi $f$ kontinu dan diferensiabel dapat diturunkan dalam interval $I$ yang memuat $x=c.$ Turunan pertamanya adalah $f'x$, sedangkan turunan keduanya adalah $f^{\prime \prime}x$ pada interval $I$, serta $f'c = 0$ dengan $fc$ adalah nilai stasioner. Jika $f^{\prime \prime}c 0,$ maka $fc$ adalah nilai balik minimum fungsi $f$. Jika $f^{\prime \prime}c = 0,$ maka $fc$ bukan nilai ekstrem fungsi dan titik $c, fc$ adalah titik belok kurva fungsi $f$. Untuk memantapkan pemahaman, berikut ini telah disajikan sejumlah soal dan pembahasan terkait masalah nilai maksimum dan minimum menggunakan turunan diferensial. Semoga bermanfaat. Today Quote If everything was perfect, you would never learn and you would never grow. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Fungsi $y = x^3-3x^2+3x-2$ mempunyai nilai stasioner $\cdots \cdot$ A. $x=0$ D. $y=0$ B. $x=1$ E. $y=-1$ C. $y=1$ Pembahasan Diketahui $fx = y = x^3-3x^2+3x-2.$ Nilai-nilai stasioner $fx$ didapat ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 3x^2-6x+3 & = 0 \\ 3x^2-2x+1 & = 0 \\ 3x-1^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh nilai stasioner $$\begin{aligned} f1 & = 1^3-31^2+31-2 \\ & = 1-3+3-2 \\ & = -1. \end{aligned}$$Jadi, nilai stasioner fungsi tersebut adalah $\boxed{ y = -1}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun Soal Nomor 2 Fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $-1$ D. $0$ atau $1$ B. $0$ E. $-1$ atau $1$ C. $1$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10.$ Nilai-nilai stasioner $fx$ didapat ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ x^2-x & = 0 \\ xx-1 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}&~x = 1 \end{aligned}$$Jadi, fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac12x^2+10$ akan stasioner pada saat nilai $x$ sama dengan $\boxed{0~\text{atau}~1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Titik stasioner dari fungsi $gx = x^3-3x+3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1,1$ dan $-1,-5$ B. $1,1$ dan $-1,5$ C. $1,1$ dan $1,-5$ D. $-1,1$ dan $1, 5$ E. $-1, -1$ dan $1, 5$ Pembahasan Diketahui $gx = x^3-3x+3.$ Titik stasioner dicari saat $g'x = 0.$ $$\begin{aligned} g'x & = 0 \\ 3x^2-3 & = 0 \\ 3x^2-1 & = 0 \\ 3x+1x-1 & = 0 \\ x = -1~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Untuk $x = -1$, diperoleh $$\begin{aligned} f-1 & = -1^3-3-1+3 \\ & = -1+3+3 = 5 \end{aligned}$$sehingga titik stasionernya adalah $-1, 5.$ Untuk $x = 1$, diperoleh $\begin{aligned} f1 & = 1^3-31+3 \\ & = 1-3+3 = 1 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $1, 1.$ Jadi, fungsi $g$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{-1, 5~\text{dan}~1,1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 Fungsi $px = 2x^3-9x^2+12x$ mempunyai titik stasioner $\cdots \cdot$ A. $1, 5$ dan $4, 2$ B. $1, 5$ dan $2, 4$ C. $-5, 1$ dan $2, 4$ D. $5, 1$ dan $2, 4$ E. $5, 1$ dan $4, 2$ Pembahasan Diketahui $px = 2x^3-9x^2+12x$. Titik stasioner dicari saat $p'x = 0.$ $$\begin{aligned} p'x & = 0 \\ 6x^2-18x + 12 & = 0 \\ 6x^2-3x+2 & = 0 \\ 6x-2x-1 & = 0 \\ x = 1~\text{atau}~x & = 2 \end{aligned}$$Untuk $x = 1$, diperoleh $\begin{aligned} p1 & = 21^3-91^2+121 \\ & = 2-9+12 = 5 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $1, 5.$ Untuk $x = 2$, diperoleh $\begin{aligned} p2 & = 22^3-92^2+122 \\ & = 16-36+24=4 \end{aligned}$ sehingga titik stasionernya adalah $2,4.$ Jadi, fungsi $p$ memiliki dua titik stasioner, yaitu $\boxed{1, 5~\text{dan}~2, 4}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Soal Nomor 5 Fungsi $ft = -2t^2+t+3$ mempunyai $\cdots \cdot$ A. nilai balik maksimum, $y = 0,\!25$ B. nilai balik minimum, $y = -\dfrac14$ C. nilai balik maksimum, $y = 3,\!125$ D. nilai balik minimum, $y = -3,\!125$ E. nilai balik maksimum, $y = 0,\!5$ Pembahasan Diketahui $ft = -2t^2+t+3$. Titik stasioner dicari saat $f't = 0.$ $$\begin{aligned} f't & = 0 \\ -4t + 1 & = 0 \\ t & = \dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $ft$ adalah $f^{\prime \prime}t = -4$ sehingga untuk $t = \dfrac14$, diperoleh $f^{\prime \prime}\left\dfrac14\right = -4 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka itu berarti $-3, 0$ adalah titik balik minimum. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 7 Fungsi $y = t^2-5t+6$ mempunyai nilai ekstrem $\cdots \cdot$ A. maksimum di $y = -\dfrac14$ B. minimum di $y = -\dfrac14$ C. maksimum di $y = 2$ D. minimum di $y = 2$ E. minimum di $y = 6$ Pembahasan Diketahui $y = t^2-5t+6.$ Titik stasioner dicari saat $y’ = 0.$ $$\begin{aligned} 2t-5 & = 0 \\ 2t & = 5 \\ t & = \dfrac52 \end{aligned}$$Substitusi $t = \dfrac52$ pada $y$, kita peroleh $$\begin{aligned} y & = \left\dfrac52\right^2-5\left\dfrac52\right+6 \\ & = \dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+6 \\ & = \dfrac{25-50+24}{4} = -\dfrac14 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua $y$ adalah $y^{\prime \prime}t = 2$ sehingga untuk $t = \dfrac52,$ diperoleh $f^{\prime \prime}\left\dfrac52\right = 2 > 0.$ Ini artinya fungsi tersebut memiliki nilai ekstrem minimum di $y = -\dfrac14.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Titik balik maksimum dari kurva $fx = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, -4$ D. $2, -4$ B. $-2, 4$ E. $2, 4$ C. $0, 0$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac14x^4-2x^2.$ Titik stasioner dicari saat $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^3-4x & = 0 \\ xx^2-4 & = 0 \\ xx+2x-2 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = -2~\text{atau}~x = 2 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 3x^2-4.$ Substitusi $x = 0$ menghasilkan $f^{\prime \prime}0 = 30^2-4 = -4 0.$ Substitusi $x = 2$ menghasilkan $f^{\prime \prime}2 = 32^2-4 = 8 > 0.$ Karena $f^{\prime \prime}0$ bernilai negatif, maka itu berarti titik $x = 0$ merupakan absis titik balik maksimum Substitusi $x = 0$ pada $fx,$ kita peroleh $$\begin{aligned} fx & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f0 & = \dfrac140^4-20^2 = 0 \end{aligned}$$Jadi, titik balik maksimum fungsi $f$ adalah $\boxed{0,0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Fungsi $fx = 4x^3-18x^2+15x-20$ akan mencapai maksimum saat nilai $x = \cdots \cdot$ A. $3,\!0$ D. $1,\!5$ B. $2,\!5$ E. $0,\!5$ C. $2,\!0$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x^3-18x^2+15x-20.$ Akan dicari nilai $x$ saat $f$ stasioner. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 34x^2-12x+5 & = 0 \\ 32x-12x-5 & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 24x-36.$ Sekarang, uji nilai turunan kedua $f$ untuk $x = \dfrac12$ dan $x = \dfrac52.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left\dfrac12\right & = 24\left\dfrac12\right-36 = -24 0 \end{aligned}$$Karena $f^{\prime \prime}\left\dfrac12\right$ bernilai negatif, maka itu berarti nilai fungsi $f$ mencapai maksimum saat nilai $\boxed{x=\dfrac12=0,\!5}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Menggunakan Limit Soal Nomor 10 Nilai maksimum dari fungsi $ft = t + \sqrt{a-2t}$ adalah $10$. Nilai $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $17$ E. $12$ B. $19$ D. $14$ Pembahasan Diketahui $ft = t + \sqrt{a-2t}.$ Turunan pertama fungsi $f$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} f't & = 1+\dfrac12 \cdot a-2t^{-1/2} \cdot -2 \\ & = 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} \end{aligned}$$Fungsi $f$ maksimum ketika $f't = 0$ sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 1-\dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{a-2t}} & = 1 \\ \sqrt{a-2t} & = 1 \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $f_{\text{maks}}t = t + 1 = 10$, berarti $t = 9.$ Karena itu, $$\begin{aligned} \sqrt{a-2\color{red}{9}} & = 1 \\ a-18 & = 1 \\ a & = 19 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a=19}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 11 Koordinat titik belok fungsi $fx = x^3-6x^2+12x+5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-2, -3$ D. $2, 10$ B. $-2, 7$ E. $2, 13$ C. $-2, 5$ Pembahasan Diketahui $fx = x^3-6x^2+12x+5.$ Turunan pertama dan keduanya berturut-turut adalah $$\begin{aligned} f'x & = 3x^2-12x+12 \\ f^{\prime \prime}x & = 6x-12 \end{aligned}$$Titik belok grafik fungsi dicari ketika $f^{\prime \prime}x = 0$, yaitu $6x-12 = 0$ sehingga diperoleh $x = 2.$ Substitusi $x = 2$ pada $fx$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} f2 & = 2^3-62^2+122+5 \\ & = 8-24+24+5 = 13 \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik beloknya adalah $\boxed{2, 13}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Koordinat titik belok dari fungsi $fx = \dfrac14x^4-2x^2$ adalah $\cdots \cdot$ $-2, -4$ dan $2, 4$ $2, 4$ dan $-2, 4$ $-2, -4$ dan $2, -4$ $\left-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right$ dan $\left\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right$ $\left\dfrac13\sqrt3, 4\right$ dan $\left-\dfrac12\sqrt3, -4\right$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac14x^4-2x^2$. Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^3-4x \\ f^{\prime \prime}x & = 3x^2-4 \end{aligned}$$Titik belok kurva fungsi $f$ dicapai saat $f^{\prime \prime}x = 0.$ Kita peroleh $$\begin{aligned} 3x^2-4 & = 0 \\ x^2 & = \dfrac43 \\ x & = \pm \sqrt{\dfrac43} \\ x & = \pm \dfrac{2}{\sqrt3} = \pm \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$$Selanjutnya, substitusikan dua nilai $x$ tersebut pada $fx.$ $$\begin{aligned} fx & = \dfrac14x^4-2x^2 \\ \Rightarrow f\left\dfrac23\sqrt3\right & = \dfrac14 \cdot \left\dfrac43\right^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \\ f\left-\dfrac23\sqrt3\right & = \dfrac14 \cdot \left\dfrac43\right^2-2 \cdot \dfrac43 \\ & = \dfrac49-\dfrac83 = -\dfrac{20}{9} \end{aligned}$$Jadi, koordinat titik belok fungsi $f$ adalah $\boxed{\left-\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right}$ dan $\boxed{\left\dfrac23\sqrt3, -\dfrac{20}{9}\right}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Nilai minimum fungsi $fx = x^3 + 3x^2-9x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $27$ D. $-5$ B. $5$ E. $-27$ C. $0$ Pembahasan Diketahui $fx = x^3+3x^2-9x.$ Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner. $$\begin{aligned} f'x & = 0 \\ 3x^2+6x-9 & = 0 \\ 3x^2+2x-3 & = 0 \\ 3x+3x-1 & = 0 \\ x = -3~\text{atau}~x&=1 \end{aligned}$$Sekarang, perhatikan bahwa turunan kedua fungsi $f$ adalah $f^{\prime \prime}x = 6x + 6.$ Substitusi $x = -3$ menghasilkan $f^{\prime \prime}-3 = 6-3 + 6 = -12 0.$ Ini berarti, fungsi $f$ minimum ketika $x = 1$, yaitu $\boxed{f1 = 1^3+31^2-9 = -5}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 14 Selisih nilai maksimum dan minimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac52$ E. $\dfrac92$ B. $\dfrac32$ D. $\dfrac72$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3+\dfrac12x^2-2x+5.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^2+x-2 \\ f^{\prime \prime}x & = 2x+1 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^2+x-2 & = 0 \\ x+2x-1 & = 0 \\ x = -2~\text{atau}~x & = 1 \end{aligned}$$Selanjutnya, uji dua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}x = 2x+1$. $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}-2 & = 2-2 + 1 = -3 0 \end{aligned}$$Dapat disimpulkan bahwa fungsi $f$ mencapai nilai maksimum di $x = -2$ dan mencapai nilai minimum di $x = 1.$ $$\begin{aligned} f-2 & = \dfrac13-2^3+\dfrac12-2^2-2-2 + 5 \\ & = -\dfrac83 + 2+4+5 = \dfrac{25}{3} && \text{maksimum} \\ f1 & = \dfrac121^3 + \dfrac131^2-21 + 5 \\ & = \dfrac13 + \dfrac12-2+5 = \dfrac{23}{6} && \text{minimum} \end{aligned}$$Dengan demikian, selisih nilai maksimum dan minimum fungsi $f$ adalah $$\boxed{\dfrac{25}{3}-\dfrac{23}{6} = \dfrac{27}{6} = \dfrac92}$$Jawaban E [collapse] Soal Nomor 15 Nilai maksimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\cdots \cdot$ A. $9$ C. $\dfrac92$ E. $\dfrac32$ B. $4$ D. $\dfrac{23}{6}$ Pembahasan Diketahui $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = x^2-3x \\ f^{\prime \prime}x & = 2x-3 \end{aligned}$$Absis titik stasioner dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} x^2-3x & = 0 \\ xx-3 & = 0 \\ x = 0~\text{atau}~x & = 3 \end{aligned}$$Uji kedua nilai $x$ tersebut pada $f^{\prime \prime}x = 2x-3.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}0 & = 20-3= -3 0 \end{aligned}$$Ini berarti, nilai maksimum lokal fungsi $f$ tercapai saat $x = 0$ karena $f^{\prime \prime}0$ bernilai negatif. Substitusi $x = 0$ pada $fx$, diperoleh $f0 = \dfrac130^3-\dfrac320^2+9=9.$ Jadi, nilai maksimum dari fungsi $fx = \dfrac13x^3-\dfrac32x^2+9$ pada interval $0 \leq x \leq 3$ adalah $\boxed{9}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Persamaan Garis Singgung Menggunakan Turunan Soal Nomor 16 Nilai maksimum fungsi $$fx = 4x^3 + px^2 + 15x-20$$ dicapai oleh $x = \dfrac12$, maka nilai minimum $fx$ dicapai pada $x = \cdots \cdot$ A. $1$ C. $2$ E. $3$ B. $\dfrac35$ D. $\dfrac52$ Pembahasan Diketahui $fx = 4x^3 + px^2 + 15x-20.$ Turunan pertama fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$f'x = 12x^2+2px + 15$$Karena diketahui bahwa $x = \dfrac12$ membuat nilai fungsi $f$ maksimum, maka substitusi $x = \dfrac12$ harus membuat $f’\left\dfrac12\right = 0$. $$\begin{aligned} 12\left\dfrac12\right^2 + 2p \cdot \left\dfrac12\right + 15 & = 0 \\ 3 + p + 15 & = 0 \\ p & = -18 \end{aligned}$$Sekarang, $fx = 4x^3-18x^2+15x-20.$ Turunan pertama dan keduanya adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = 12x^2-36x +15 \\ f^{\prime \prime}x & = 24x-36 \end{aligned}$$Akan dicari nilai $x$ sehingga $f$ stasioner, yaitu ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} 12x^2-36x+15 & = 0 \\ 34x^2-12x+5 & = 0 \\ 32x-12x-5 & = 0 \\ x = \dfrac12~\text{atau}~x & = \dfrac52 \end{aligned}$$Nilai $x = \dfrac12$ diketahui membuat nilai $f$ maksimum. Sekarang, akan dicek untuk $x = \dfrac52$ dengan cara substitusi pada $f^{\prime \prime}x = 24x-36.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}\left\dfrac52\right & = 24\left\dfrac52\right-36 = 24 > 0 \end{aligned}$$Karena nilainya positif, maka $x = \dfrac52$ membuat nilai $f$ minimum. Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Turunan Fungsi Implisit Soal Nomor 17 Jika $gx = \displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t$ untuk $0 \leq x \leq 7,$ maka $\cdots \cdot$ $gx$ mencapai nilai minimum di $x=1$ $gx$ mencapai nilai minimum di $x=7$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=2$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=4$ $gx$ mencapai nilai maksimum di $x=6$ Pembahasan Perhatikan bahwa $gx = \displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t$ mengimplikasikan $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} gx & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} \left\displaystyle \int_0^x ft~\text{d}t\right \\ g'x & = \dfrac{\text{d}}{\text{d}x} Fx-F0 \\ g'x & = fx-0 \\ g'x & = fx \end{aligned}$$Grafik pada soal menunjukkan kurva turunan fungsi $g.$ Tampak bahwa grafik memotong sumbu-$X$ pada $x = 0$, $x = 2,$ dan $x = 6$ sehingga titik ekstrem fungsi $g$ di ketiga titik tersebut. Grafik juga turun pada interval $0 0.$ Artinya, nilai $f$ minimum tercapai saat $x = 3.$ Jadi, nilai $n$ adalah $\boxed{3}$ [collapse] Soal Nomor 2 Fungsi kuadrat $fx = ax^2+bx+4$ mempunyai koordinat titik balik maksimum di $1, -1$. Hitunglah nilai $ab.$ Pembahasan Diketahui $fx = ax^2+bx+4.$ Karena grafik melalui titik $1, -1$, maka substitusikan $x=1$ dan $y=-1$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} a1^2+b1+4 & = -1 \\ a+b & = -5 && \cdots 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 1$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} f'x & = 2ax +b \\ 0 & = 2a1+b \\ b & = -2a && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari Persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $a = 5$ dan $b = -10$ sehingga nilai $\boxed{ab = 5-10 = -50}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan nilai $a$ dan $b$ sedemikian sehingga $fx = a\sqrt{x} + \dfrac{b}{\sqrt{x}}$ mempunyai titik balik $4, 13.$ Pembahasan Diketahui $fx = a\sqrt{x}+\dfrac{b}{\sqrt{x}}.$ Karena $4, 13$ dilalui oleh grafik fungsi tersebut, maka substitusikan $x = 4$ dan $y = 13$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 13 & = a\sqrt{4} + \dfrac{b}{\sqrt4} \\ 13 & = 2a + \dfrac{b}{2} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~2 \\ 26 & = 4a + b && \cdots 1 \end{aligned}$$Nilai $x = 4$ diketahui membuat $f$ stasioner, dicari ketika $f'x = 0$. $$\begin{aligned} fx & = ax^{\frac12} + bx^{-1/2} \\ \Rightarrow f'x & = \dfrac12ax^{-\frac12}-\dfrac12bx^{-\frac32} \\ f'x & = \dfrac{a}{2\sqrt{x}}-\dfrac{b}{2x\sqrt{x}} \\ 0 & = \dfrac{a}{2\sqrt4}-\dfrac{b}{24\sqrt4} \\ 0 & = \dfrac{a}{4}-\dfrac{b}{16} \\ \text{Kalikan}~&\text{kedua ruas dengan}~16 \\ 0 & = 4a-b && \cdots 2 \end{aligned}$$Dari Persamaan $1$ dan $2$, diperoleh $a=\dfrac{13}{3}$ dan $b=13.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Soal Nomor 4 Carilah jika mungkin nilai-nilai maksimum dan minimum dari fungsi $fx = x^2 + x^{-2}.$ Pembahasan Diketahui $fx=x^2+x^{-2}.$ Turunan pertama dan kedua fungsi $f$ adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} f'x & = 2x-2x^{-3} \\ f^{\prime \prime}x & = 2+6x^{-4} \end{aligned}$$Nilai $x$ yang membuat $f$ stasioner dapat dicari ketika $f'x = 0.$ $$\begin{aligned} 2x-2x^{-3} & = 0 \\ \text{Kalikan kedua}&~\text{ruas dengan}~x^3 \\ 2x^4-2 & = 0 \\ x^4 & = 1 \\ x & = \pm 1 \end{aligned}$$Substitusi dua nilai $x$ ini pada $f^{\prime \prime}x = 2+6x^{-4}.$ $$\begin{aligned} f^{\prime \prime}-1 & = 2+6-1^{-4} = 2+6 = 8 > 0 \\ f^{\prime \prime}1 & = 2+61^{-4} = 2+6 = 8>0 \end{aligned}$$Karena keduanya bernilai positif, maka $x = -1$ dan $x = 1$ membuat $f$ mencapai minimum. Nilai minimumnya dapat dicari dengan melakukan substitusi kedua nilai tersebut pada $fx = x^2+x^{-2}$. $$\begin{aligned} f-1 & = -1^2+-1^{-2} = 1+1 = 2 \\ f1 & = 1^2 + 1^{-2} = 1+1= 2 \end{aligned}$$Jadi, nilai minimum fungsi $f$ adalah $\boxed{2}$, sedangkan nilai maksimumnya tidak ada. Grafik fungsi $f$ dapat dilihat pada gambar di bawah. [collapse] Soal Nomor 5 Buktikan bahwa setiap fungsi kuadrat $fx = ax^2 + bx + c$, dengan $a \neq 0$, mempunyai tepat satu titik kritis. Pembahasan Diketahui $fx = ax^2+bx+c.$ Turunan pertama fungsi kuadrat tersebut adalah $f'x = 2ax + b.$ $f$ stasioner ketika $f'x = 0$ sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 2ax + b & = 0 \\ 2ax & = -b \\ x & = -\dfrac{b}{2a} \end{aligned}$$Substitusikan $x = -\dfrac{b}{2a}$ pada $fx,$ diperoleh $$\begin{aligned} f\left-\dfrac{b}{2a}\right & = a\left-\dfrac{b}{2a}\right^2 + b \cdot \left-\dfrac{b}{2a}\right + c \\ & = \dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a} + c \\ & = \dfrac{b^2-2b^2+4ac}{4a} \\ & = \dfrac{-b^2+4ac}{4a} \\ & = -\dfrac{b^2-4ac}{4a} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa setiap fungsi kuadrat mempunyai tepat satu titik kritis, yaitu $\boxed{\left-\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^2-4ac}{4a}\right}$ [collapse] Diperolehtitik balik (315o, -1). Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan (derivatif) kedua fungsi tersebut. y ' = f' (x) = 2 cos 2x, maka. y '' = f'' (x) = -4 sin 2x. Untuk x = 45o maka y '' = f'' (45o) = -4 sin 2 (45o) = -4 sin 90o.Gambardi atas menunjukkan titik balik maksimum dan minimum suatu fungsi. Pada intinya maksimum terjadi jika terjadi perubahan nilai turunan pertama dari postif menjadi negatif. Sementara itu minimum adalah sebaliknya. Baca juga materi Fungsi Naik dan Turun Fungsi Aljabar. 2. Titik Belok Naik dan Turun
- Titik stasioner Diketahui Selanjutnya menentukan titik stasioner, dengan syarat yaitu dan didapatkan Untuk didapatkan Untuk didapatkan Sehingga, titik stasioner fungsi adalah . - Titik balik maksimum dan titik balik minimum Untuk titik balik maksimum adalah . Untuk titik balik minimum adalah . - Interval fungsi naik dan interval fungsi turun Akan ditentukan interval grafik fungsi naik dan fungsi turun. Dalam menentukan interval ini kita digunakan titik-titik stasioner dalam menentukan intervalnya. Langkah pertama akan dibuat garis bilangan. Ambil nilai Maka, garis bilangannya adalah sebagai berikut Untuk interval fungsi naik didapatkan adalah . Untuk interval fungsi turun didapatkan adalah . Dengan demikian, titik stasioner, titik balik maksimum dan minimum, nilai maksimum dan minimum, serta interval fungsi naik dan fungsi turun pada fungsi adalah , titik balik maksimum adalah , titik balik minimum adalah , interval fungsi naik adalah dan interval fungsi turun adalah . Titikpotong grafik dengan sumbu X dan Y. 0 2 4 0 Sebagai titik uji, ambillah titik O(0,0). Dengan mensubsitusikan O(0,0) ke diperoleh 2(0) + 0 = 0 0 ( Benar). Sehingga daerah yang memuat titik O(0,0) merupakan penyelesaian ( daerah yang di raster) 50 2 Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan y Titik potong grafik dengan sumbu X dan Y. x Dalam kesempatan ini akan kita bahas tentang kegunaan turunan fungsi trigonometri dalam menentukan titik balik dari sustu kurva fungsi trigonometri. Perlu diingat bahwa turunan Derivatif fungsi salah satu kegunaannya adalah untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi. Jadi, jika terdapat suatu fungsi tertentu, maka untuk mencari titik optimumnya dapat menggunakan turunan fungsi. Dalam konteks kali ini kita akan bahas secara khusus tentang fungsi trigonometri, yaitu menggunakan turunan fungsi. Jika diketahui suatu grafik fungsi trigonometri y = fx, maka nilai x pada titik balik grafik fungsi trigonometri dapat dicari dengan menentukan y' = 0 atau f'x = 0. Jika diperoleh x1 sebagai titik balik, dan f''x adalah turunan kedua dari fx maka 1. Titik x1, fx1 merupakan titik balik maksimum apabila f''x1 0. Nah, bagaimana cara menemukan titik balik maksimum dan minimum fungsi suatu grafik fungsi trigonometri? Marilah simak beberapa contoh dan pembahasannya berikut. Contoh 1 Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin x + cos x, untuk 0o < x < 360o Jawaban Diketahui y = sin x + cos x Maka turunannya adalah y ' = f'x = cos x - sin x Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat y' = 0. Sehingga diperoleh Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan derivatif kedua fungsi tersebut. y ' = f'x = cos x - sin x , maka y '' = f''x = -sin x - cos x Contoh 2 Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 2x, untuk 0o < x < 360o Jawaban Diketahui y = sin 2x Maka turunannya adalah y ' = f'x = 2 cos 2x Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat y' = 0. Sehingga diperoleh 2 cos 2x = 0 cos 2x = 0 cos 2x = cos 90o dan cos 270o i 2x = 90o + x = 45o + untuk k = 0, maka x = 45o untuk k = 1, maka x = 225o ii 2x = 270o + x = 135o + untuk k = 0, maka x = 135o untuk k = 1, maka x = 315o Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikanya ke persamaan fungsi awal. Untuk x = 45o, maka y = sin 245o = sin 90o = 1. Diperoleh titik balik 45o, 1. Untuk x = 135o, maka y = sin 2135o = sin 270o = -1. Diperoleh titik balik 135o, -1. Untuk x = 225o, maka y = sin 2225o = sin 450o = 1. Diperoleh titik balik 225o, 1. Untuk x = 315o, maka y = sin 2315o = sin 630o = -1. Diperoleh titik balik 315o, -1. Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan derivatif kedua fungsi tersebut. y ' = f'x = 2 cos 2x, maka y '' = f''x = -4 sin 2x Untuk x = 45o maka y '' = f''45o = -4 sin 245o = -4 sin 90o = -4 negatif Sehingga, 45o, 1 titik merupakan titik balik maksimum. Untuk x = 135o maka y '' = f''135o = -4 sin 2135o = -4 sin 270o = 4 positif Sehingga, 135o, -1 titik merupakan titik balik minimum. Untuk x = 225o maka y '' = f''225o = -4 sin 2225o = -4 × sin 450o = -4 × sin 90o = -4 × 1 = 4 negatif Sehingga, 225o, 1 titik merupakan titik balik maksimum. Untuk x = 315o maka y '' = f''315o = -4 sin 2315o = -4 sin 630o = -4 sin 270o = -4 × -1 = 4 positif Sehingga, 315o, -1 titik merupakan titik balik minimum. Contoh 3 Tentukan titik balik maksimum dan minimum fungsi trigonometri y = sin 3x – cos 3x, untuk 0o < x < 360o Jawaban Diketahui y = sin 3x – cos 3x Maka turunannya adalah y ' = f'x = 3cos 3x + 3sin 3x Selanjutnya menentukan titik balik dengan menentukan nilai x dengan syarat y' = 0. Sehingga diperoleh 3cos 3x + 3sin 3x = 0 cos 3x + sin 3x = 0 sin 3x = -cos 3x tan 3x = -1 = tan 135o Sehingga 3x = 135o + x = 45o + untuk k = 0, maka x = 45o untuk k = 1, maka x = 105o untuk k = 2, maka x = 165o untuk k = 3, maka x = 225o untuk k = 4, maka x = 285o untuk k = 5, maka x = 345o Selanjutnya menentukan koordinat titik balik dengan mensubstitusikan sudut-sudut tersebut ke persamaan fungsi awal. Fungsi awal y = sin 3x – cos 3x Selanjutnya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum, kita gunakan turunan derivatif kedua fungsi tersebut. y ' = f'x = 3cos 3x + 3sin 3x, maka y '' = f''x = -9sin 3x + 9cos 3x = 9{-sin 3x + cos 3x} Demikianlah sekilas materi turunan trigonometri dalam penggunaannya untuk menentukan titik balik maksimum dan minimum. Semoga bermanfaatUntukmencari nilai maksimum dan minimum kita substitusikan titik-titik ekstrim ke fungsi \(f(x)\), yang paling besar itulah nilai maksimum sedangkan yang paling kecil itulah nilai minimum. \(f(x) = -2x^{3} + 3x^{2}\) \(f(- \frac{1}{2}) = -2(- \frac{1}{2})^{3} + 3(- \frac{1}{2})^{2} = 1\) \(f(0) = -2(0)^{3} + 3(0)^{2} =0\)
F3Pm. cara menentukan titik balik maksimum dan minimum
